ボーダーフリー大学の入試問題を解くだけ【数学創作#2】

ふと大東亜帝国レベルの数学の問題を探していたところ、なんとボーダーフリー大学の入試問題とか言っている問題を発見。ちなみに真偽不明。

これが案外難しくてビックリ

●問題（文章は少し変えています）

4×4の格子状のマス目に1,2,3,4の数字をそれぞれ4つ入れるときの場合の数はいくつか。ただし、どの行・列でも同じ数字が入らないものとする。

これがその問題です。数独みたいな問題ですね。

答えは（面倒なので）探してないですが、多分合ってると思うので自分の答案をのっけておきます。

●答案1

まず、1番左上のマス（･･･①）にどの数字が来るかで4通りあり、1番左の列と1番上の行の①以外にどの数字が来るかでそれぞれ3!ずつの場合の数がある。

次に、残った右下側の3×3のマスについて、①に配当された数字が3つ入る。3×3の格子における、①の数字を入れることの出来る場合の数は4通りである。それ以外の数字は、一意に定まる。

∴4×3!×3!×4＝576

●答案2

上の行から順に1234,2341,3412,4123と入っている格子を考える。すべての組み合わせはこれの行または列を入れ替えたものであり、行と列はそれぞれ4!通りの並び方があるから

∴4!×4!＝576

答案2の方がスッキリまとまってる感じがしますね。

また、ちょっと難しい問題も考えてみました。

●問題

nを自然数として、2n×2nマスの格子に1,2,3,…,2nの数字をそれぞれ同じ数ずつ入れる事を考える。

(1) 全ての場合の数はいくつか

(2)どの縦の列にも同じ数字が現れない場合の数はいくつか

(3)どの行、列にも同じ数字が現れない場合の数はいくつか