ふと大東亜帝国レベルの数学の問題を探していたところ、なんとボーダーフリー大学の入試問題とか言っている問題を発見。ちなみに真偽不明。
これが案外難しくてビックリ
●問題(文章は少し変えています)
4×4の格子状のマス目に1,2,3,4の数字をそれぞれ4つ入れるときの場合の数はいくつか。ただし、どの行・列でも同じ数字が入らないものとする。
これがその問題です。数独みたいな問題ですね。
答えは(面倒なので)探してないですが、多分合ってると思うので自分の答案をのっけておきます。
●答案1
まず、1番左上のマス(・・・①)にどの数字が来るかで4通りあり、1番左の列と1番上の行の①以外にどの数字が来るかでそれぞれ3!ずつの場合の数がある。
次に、残った右下側の3×3のマスについて、①に配当された数字が3つ入る。3×3の格子における、①の数字を入れることの出来る場合の数は4通りである。それ以外の数字は、一意に定まる。
∴4×3!×3!×4=576
●答案2
上の行から順に1234,2341,3412,4123と入っている格子を考える。すべての組み合わせはこれの行または列を入れ替えたものであり、行と列はそれぞれ4!通りの並び方があるから
∴4!×4!=576
答案2の方がスッキリまとまってる感じがしますね。
また、ちょっと難しい問題も考えてみました。
●問題
nを自然数として、2n×2nマスの格子に1,2,3,…,2nの数字をそれぞれ同じ数ずつ入れる事を考える。
(1) 全ての場合の数はいくつか
(2)どの縦の列にも同じ数字が現れない場合の数はいくつか
(3)どの行、列にも同じ数字が現れない場合の数はいくつか
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